# 魔方陣 無料プリント 24枚（3×3・4×4・小学生から・答えつき）

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魔方陣は、たて・よこ・ななめに並んだ数を足すと、どの線も同じ和になる数の正方形です。このページの紙は、その一部の数が抜けた穴埋めで、3×3のやさしい・ふつうと4×4の3段、24枚あります。**どの問題も、答えが1通りしかありません**。プログラムで空きの埋め方を全部数えて確かめたものだけを載せ、配ったPDFを読み戻して数え直す検査も通しています。答えは別のPDFです。

## ダウンロード（24枚・登録不要）

- [問題](https://puzzle-print.jp/files/mahoujin/mahoujin-01.pdf)（PDF）
- [こたえ](https://puzzle-print.jp/files/mahoujin/mahoujin-01-answer.pdf)（PDF）
- [問題＋こたえ（合本）](https://puzzle-print.jp/files/mahoujin/mahoujin-01-set.pdf)（PDF）

## 小学生・大人・高齢者に合わせて変えていること

やさしい（3×3・空き3〜4）・ふつう（3×3・空き5〜6）・4×4（空き8〜10）の3段・どの問題も答えが1通り・空きに入れる数を紙に刷る・解答を別紙

## 配る前に知っておくこと

このページは24枚です。1枚目から順に、やさしい（3×3）8枚、ふつう（3×3）8枚、4×4が8枚で、後ろの枚ほど空きが増えます。空きの数は、やさしいが3〜4マス、ふつうが5〜6マス、4×4が8〜10マスです。

1枚に問題が1つで、盤は大きく、数字は50.1〜61.9ptです。盤の下に、空きに入れる数を刷ってあるので、どの数が余っているかを探す手間がありません。答えは別のPDFなので、先に問題だけを配れます。

## 魔方陣とは

魔方陣は、1から順に数を1つずつ使って正方形に並べ、**たて・よこ・ななめ（2本）のどの線を足しても同じ和になる**ようにしたものです。その和を、この紙では「魔法の和」と呼んでいます。

![3×3と4×4の完成した魔方陣。たて・よこ・ななめの和がどれも同じ](/images/figures/mahoujin-sums.svg)

- 3×3は1〜9を使い、魔法の和は15です
- 4×4は1〜16を使い、魔法の和は34です

和は、数を全部足して線の数で割れば決まります。3×3は1〜9を足して45、よこの3本に分けて45÷3＝15です。4×4は1〜16を足して136、よこの4本に分けて136÷4＝34です。

3×3の魔方陣は、回転・裏返しも別の並べ方と数えて8通りで、同じ形とみなすと1通りだけです。4×4は7,040通りで、同じ形とみなすと880通りです。この数は、プログラムで全部の並べ方を書き出して数えました。

## 魔方陣の解き方

答えが1通りに決まる穴埋めは、順に決めていけば、行き止まりにならず最後まで解けます。やさしい段は、次の1つだけで解けます。

**空きが1マスだけの線を探し、魔法の和からほかの数を引く。**

![やさしい1枚目の解き方。空きが1マスの線を見つけて15から引く](/images/figures/mahoujin-solve.svg)

上の図は、このページのやさしい1枚目を実際に解いた手順です。1つ決まると、そのマスを通る別の線の空きが減るので、次の線が見つかります。

3×3には、知っておくと速くなる決まりがあります。全8通りで確かめてあります。

- 真ん中のマスは、かならず5です
- 四隅は偶数（2・4・6・8）です
- 四辺の真ん中は奇数（1・3・7・9）です

ふつうは、1本の線に空きが2つ以上あるので、そのままでは引き算できません。そこで、使える数を絞ります。たとえば和が15の線で、残りの和が11、まだ使っていない数が2・5・6・9なら、足して11になるのは2と9、5と6の組だけです。どちらの組になるかは、そのマスを通る別の線が決めます。4×4も同じ考え方で、34から引いて残りの和を出し、同じ数は1回しか使えないことから候補を絞ります。

## 魔方陣 プリント　やさしい・ふつう・4×4の24枚

3つの段は、解くために必要な手が違います。

- **やさしい（8枚・空き3〜4マス）**: 空きが1マスだけの線を探して、和から引くだけで最後まで解けます
- **ふつう（8枚・空き5〜6マス）**: 線の和と、同じ数は1回しか使えないことから候補を絞れば、仮定して試さなくても最後まで解けます
- **4×4（8枚・空き8〜10マス）**: ふつうと同じ手で解けますが、盤が大きく、和が34になるので計算が増えます

段ごとの手で最後まで解けることも、24枚すべてで確かめました。

印刷はA4・縦です。白黒で刷れて、最初から入っている数は太字、空きは白いままです。答えのPDFでは、空きに入る数を灰色で入れてあります。

## 魔方陣 小学生　進め方と声かけ

小学生が使うときは、**やさしい（3×3）から順に**進めます。必要なのは、1けたの足し算と、15から引く引き算です。

- 1枚目では、「15になる線」を指でなぞって探します
- 引き算が不安なときは、空きに入れる数の候補が盤の下に刷ってあるので、1つずつ当てて足して15になるか確かめられます
- 答えの紙を見る前に、**たて・よこ・ななめを足して15になるかを自分で確かめる**ようにします。答えが1通りなので、自分の答えが別だったら、どこかの線が合っていません

何年生向けという区切りは、このページでは設けていません。足し算と引き算ができれば3×3は解けるので、学年より、1枚ずつ進められるかで選んでください。4×4は和が34で、2けたの数も入るので、3×3に慣れてからにします。

## 学校・家庭・高齢者施設での使い方

学校では、1枚ずつ切り離して配れます。早く終わった子には、次の段の紙を渡せます。答えのPDFは別なので、先生が手元に置いて丸つけに使えます。

家庭で親子が解くときは、同じ紙を2枚刷り、別々に解いてから見比べます。答えは1通りなので、食い違ったときは、どちらかの線の合計がずれています。

高齢者施設では、数字が大きい（50.1〜61.9pt）ので、読み上げながら進められます。やさしい段は、足し算と引き算だけで解けます。ゆっくり解く方には、空きが少ない段から渡してください。

## 答えが1通りであることの確かめ方

穴埋めの魔方陣は、空きが増えると、答えが2通り以上になることがあります。答えが2通りある紙を配ると、合っているのに「答えと違う」と感じる人が出ます。そこで、このページの24枚は、次のことを確かめています。

- 問題を作るときに、空きの埋め方を全部数え、ちょうど1通りのものだけを採る
- 数える方法は2つあります。1つは、空きを埋める探索で全部の埋め方を数えるもの、もう1つは、魔方陣の全部の一覧（3×3は8通り・4×4は7,040通り）から、最初の数と合うものを数えるものです。2つの数が食い違ったら止まります
- 配ったPDFから盤を読み戻して、もう一度数え直し、答えのPDFが、その唯一の答えと同じかを確かめる
- 回転・裏返しで同じになる盤を、24枚の中に入れない

この検査は、わざと壊した紙（空きを足して答えを2通りにしたもの、答えの2マスを入れ替えたもの、回転した同じ盤を入れたものなど）で、きちんと鳴ることも確かめています。

## 関連するパズル

足し算の和が決め手になるパズルは、ほかにもあります。[カックロ](/kakuro/)は、ひと続きのマスの和が手がかりのパズルです。数字を入れる遊びなら、[ナンプレ](/nanpure/)もあります。紙の作り方の共通の仕組みは[問題・線画の作り方](/how-we-make/)にまとめています。

対象別の紙の一覧は、[大人向け](/otona/)・[小学生向け](/shogakusei/)・[高齢者向け](/koreisha/)のページにあります。

## 使ってよい範囲

個人・学校・介護施設等での複製配布可／再配布・販売・改変配布は不可

くわしくは [利用規約](https://puzzle-print.jp/license/) をご覧ください。

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