配る前に知っておくこと
このページは24枚です。1枚目から順に、やさしい（3×3）8枚、ふつう（3×3）8枚、4×4が8枚で、後ろの枚ほど空きが増えます。空きの数は、やさしいが3〜4マス、ふつうが5〜6マス、4×4が8〜10マスです。
押すと問題のPDFの4枚目が開きます。
1枚に問題が1つで、盤は大きく、数字は50.1〜61.9ptです。盤の下に、空きに入れる数を刷ってあるので、どの数が余っているかを探す手間がありません。答えは別のPDFなので、先に問題だけを配れます。
魔方陣とは
魔方陣は、1から順に数を1つずつ使って正方形に並べ、たて・よこ・ななめ（2本）のどの線を足しても同じ和になるようにしたものです。その和を、この紙では「魔法の和」と呼んでいます。
- 3×3は1〜9を使い、魔法の和は15です
- 4×4は1〜16を使い、魔法の和は34です
和は、数を全部足して線の数で割れば決まります。3×3は1〜9を足して45、よこの3本に分けて45÷3＝15です。4×4は1〜16を足して136、よこの4本に分けて136÷4＝34です。
3×3の魔方陣は、回転・裏返しも別の並べ方と数えて8通りで、同じ形とみなすと1通りだけです。4×4は7,040通りで、同じ形とみなすと880通りです。この数は、プログラムで全部の並べ方を書き出して数えました。
魔方陣の解き方
答えが1通りに決まる穴埋めは、順に決めていけば、行き止まりにならず最後まで解けます。やさしい段は、次の1つだけで解けます。
空きが1マスだけの線を探し、魔法の和からほかの数を引く。
上の図は、このページのやさしい1枚目を実際に解いた手順です。1つ決まると、そのマスを通る別の線の空きが減るので、次の線が見つかります。
3×3には、知っておくと速くなる決まりがあります。全8通りで確かめてあります。
- 真ん中のマスは、かならず5です
- 四隅は偶数（2・4・6・8）です
- 四辺の真ん中は奇数（1・3・7・9）です
ふつうは、1本の線に空きが2つ以上あるので、そのままでは引き算できません。そこで、使える数を絞ります。たとえば和が15の線で、残りの和が11、まだ使っていない数が2・5・6・9なら、足して11になるのは2と9、5と6の組だけです。どちらの組になるかは、そのマスを通る別の線が決めます。4×4も同じ考え方で、34から引いて残りの和を出し、同じ数は1回しか使えないことから候補を絞ります。
魔方陣 プリント やさしい・ふつう・4×4の24枚
3つの段は、解くために必要な手が違います。
- やさしい（8枚・空き3〜4マス）: 空きが1マスだけの線を探して、和から引くだけで最後まで解けます
- ふつう（8枚・空き5〜6マス）: 線の和と、同じ数は1回しか使えないことから候補を絞れば、仮定して試さなくても最後まで解けます
- 4×4（8枚・空き8〜10マス）: ふつうと同じ手で解けますが、盤が大きく、和が34になるので計算が増えます
段ごとの手で最後まで解けることも、24枚すべてで確かめました。
印刷はA4・縦です。白黒で刷れて、最初から入っている数は太字、空きは白いままです。答えのPDFでは、空きに入る数を灰色で入れてあります。
魔方陣 小学生 進め方と声かけ
小学生が使うときは、やさしい（3×3）から順に進めます。必要なのは、1けたの足し算と、15から引く引き算です。
- 1枚目では、「15になる線」を指でなぞって探します
- 引き算が不安なときは、空きに入れる数の候補が盤の下に刷ってあるので、1つずつ当てて足して15になるか確かめられます
- 答えの紙を見る前に、たて・よこ・ななめを足して15になるかを自分で確かめるようにします。答えが1通りなので、自分の答えが別だったら、どこかの線が合っていません
何年生向けという区切りは、このページでは設けていません。足し算と引き算ができれば3×3は解けるので、学年より、1枚ずつ進められるかで選んでください。4×4は和が34で、2けたの数も入るので、3×3に慣れてからにします。
学校・家庭・高齢者施設での使い方
学校では、1枚ずつ切り離して配れます。早く終わった子には、次の段の紙を渡せます。答えのPDFは別なので、先生が手元に置いて丸つけに使えます。
家庭で親子が解くときは、同じ紙を2枚刷り、別々に解いてから見比べます。答えは1通りなので、食い違ったときは、どちらかの線の合計がずれています。
高齢者施設では、数字が大きい（50.1〜61.9pt）ので、読み上げながら進められます。やさしい段は、足し算と引き算だけで解けます。ゆっくり解く方には、空きが少ない段から渡してください。
答えが1通りであることの確かめ方
穴埋めの魔方陣は、空きが増えると、答えが2通り以上になることがあります。答えが2通りある紙を配ると、合っているのに「答えと違う」と感じる人が出ます。そこで、このページの24枚は、次のことを確かめています。
- 問題を作るときに、空きの埋め方を全部数え、ちょうど1通りのものだけを採る
- 数える方法は2つあります。1つは、空きを埋める探索で全部の埋め方を数えるもの、もう1つは、魔方陣の全部の一覧（3×3は8通り・4×4は7,040通り）から、最初の数と合うものを数えるものです。2つの数が食い違ったら止まります
- 配ったPDFから盤を読み戻して、もう一度数え直し、答えのPDFが、その唯一の答えと同じかを確かめる
- 回転・裏返しで同じになる盤を、24枚の中に入れない
この検査は、わざと壊した紙（空きを足して答えを2通りにしたもの、答えの2マスを入れ替えたもの、回転した同じ盤を入れたものなど）で、きちんと鳴ることも確かめています。
関連するパズル
足し算の和が決め手になるパズルは、ほかにもあります。カックロは、ひと続きのマスの和が手がかりのパズルです。数字を入れる遊びなら、ナンプレもあります。紙の作り方の共通の仕組みは問題・線画の作り方にまとめています。
